Решение гипотезы Гольдбаха

Решение гипотезы Гольдбаха.
Ведерников Сергей Иванович
РФ, Москва
Аннотация. Цель работы – найти правила, обеспечивающие доказательство гипотезы Гольдбаха, точнее, доказательства его бинарной проблемы и тем самым окончательно доказать её. Поскольку бинарная проблема Гольдбаха гласит, что любое чётное число, начиная с числа 4 можно выразить суммой двух простых чисел, т. е. чётное число (c≥4) выразить суммой простых нечётных чисел (a) и (b): c=a+b, то, очевидно, есть число, которое можно выразить разностью этих же чисел: c_1=a-b. Тогда есть некоторое число (C) являющееся произведением суммы этих простых чисел и разности этих простых чисел: C=a^2-b^2, т. е. разностью квадратов нечётных чисел. На применении этого забытого правила и основано приводимое доказательство.
Вводная часть.
Рассмотрим «посыл» [1], принятый за основу «Полного доказательства гипотезы Била», который выглядит следующим образом: любое чётное число, имеющее множителем число 8, можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел. То есть это чётное число можно представить произведением суммы и разности этих нечётных чисел. Сумма и разность в этом случае числа чётные, но одно из них имеет множителем одно число 2, а другое – минимум число 4. То есть предполагая, что сумма двух нечётных чисел имеет множителем число 4, надо иметь ввиду, что разность этих же чисел будет иметь чётный множитель только число 2. Или же наоборот: если сумма двух нечётных чисел имеет множитель только одно число 2, то разность этих же чисел имеет множитель минимум число 4. Рассмотрим это на примере пифагоровых троек (3, 4, 5) и (5, 12, 13) для наглядности.
4^2=5^2-3^2=(5+3)(5-3)=8∙2.
〖12〗^2=〖13〗^2-5^2=(13+5)(13-5)=18∙8=(2∙9)∙8.

Итак, имеется чётное число (c) с чётным множителем ≥4 равное сумме двух нечётных чисел.
c=a+b. (1)
Пусть это будет первый множитель некоторого числа (C). Второй множитель этого числа - разность этих же нечётных чисел. И этот множитель (c_1) содержит только одно число 2.
c_1=a-b. (2)
Перемножим уравнение (1) и уравнение (2).
C=c∙c_1=a^2-b^2. (3)
Итак, имеется некоторое чётное число (C), являющееся произведением суммы и разности двух нечётных чисел. Следовательно, это число имеет множитель число 8. (Нами принято число с=a+b имеющим чётный множитель минимум число 4, а число c_1=a-b один множитель 2. Заметим, однако, что значения множителей в этом случае могут быть противоположными.) Отсюда имеем, что с=2^2∙с_2=a+b, а c_1=2∙c_3=a-b. Итак: сумма и разность нечётных чисел имеют следующие значения.
a+b=2^2∙c_2; (4) a-b=2∙c_(3.) (5)
Перемножим уравнения (4) и (5).
C=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=(2^2∙c_2 )(2∙c_3 ). (6)
Сложим почленно левые и правые части уравнений (4) и (5).
2∙a=2^2∙c_2+2∙c_3. a=2∙c_2+c_3. (7)
Вычтем почленно левую и правую части уравнения (5) из левой и правой частей уравнения (4).
2∙b=2^2∙c_2-2∙c_3. b=2∙c_2-c_3. (8)
Из уравнений (7) и (8) следует, что правые части их выражают нечётное значение чисел (a),(b). При этом надо иметь ввиду, что числа c,a,b не имеют общих множителей, а тем самым и числа c_2,c_3.
Поскольку нами уже принято число (С) имеющим множитель 2^3, то примем его же множители (с_2=с_4^3) и (c_3=c_5^3). Тогда уравнение (6) будет выглядеть следующим образом.
С^3=(a^2-b^2 )=(a+b)(a-b)=(2^2∙c_4^3 )(2∙c_5^3 )=2^3∙c_4^3∙c_5^3. (9)
При этом нужно заметить, что числа с_4^3 и с_5^3 степенные множители числа С^3 и не имеют общих множителей. [1]
То есть будет рассмотрен вариант чисел C,c,c_1 в целых степенях.
Подставим в уравнение (7) и в уравнение (8) вместо (с_2) значение (с_4^3), а вместо (с_3) значение (с_5^3 ).
a=2∙c_4^3+c_5^3. (10) b=2∙c_4^3-c_5^3. (11)
Примем уравнение (10) как вариант суммы n – х степеней, а уравнение (11) как вариант разности n – х степеней. Разложим на множители уравнение (10).
a=(∛2∙c_4+c_5 )(2^(2/3)∙c_4^2-2^(1/3)∙c_4∙c_5+c_5^2 ). (12)
Разложим на множители уравнение (11).
b=(∛2∙c_4-c_5 )(2^(2/3)∙c_4^2+2^(1/3)∙c_4∙c_5+c_5^2 ). (13)
Из уравнений (12) и (13) следует, что нечётные числа (a) и (b), нельзя разложить на степенные множители, следовательно они могут являются простыми числами.
Представим уравнение (9) со значением C^n.
C^n=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=(2^((n-1) )∙c_1^n )(2∙c_2^n )=2^n∙c_4^n∙c_5^n. (14)
Из уравнения (14) имеем:
(a+b)=(2^((n-1) )∙c_1^n ). (15) (a-b)=2∙c_2^n. (16)
А в соответствии с уравнениями (7) и (8) принимаем число (а) половиной суммы множителей (a+b) и (a-b), а число (b) половиной их разности.
a=2^((n-2))∙c_1^n+c_2^n. (17) b=2^((n-2))∙c_1^n-c_2^n. (18)
Разложим на множители число (а) по формуле суммы n – х степеней, а число (b) по формуле разности n – х степеней.
a=(2^(((n-2))/n)∙c_1+c_2 )(2^(((n-2)(n-1))/n)∙c_1^((n-1) )-…c_2^((n-1) ) ). (19)
b=(2^(((n-2))/n)∙c_1-c_2 )(2^((n-2)(n-1)/n)∙c_1^((n-1) )+⋯c_2^((n-1) ) ). (20)
Из уравнений (19) и (20) следует, что числа (а) и (в) нельзя разложить на целочисленные (и не только степенные) множители, т. е. они являются простыми.
Произведём разложение на множители по формуле разности квадратов нечётных чисел число 〖12〗^3.
〖12〗^3=(a^2-b^2 )=(a+b)(a-b)=3^3∙4^3=(2∙3^3 )(2^2∙2^3 )=54∙32 .
Имеем два множителя числа 〖12〗^3, где (a+b)=2∙3^3, (a-b)=2^2∙2^3.
Число (a) равно половине суммы этих множителей, а число (b) равно половине разности этих множителей.
a=(54+32)/2=43. (21) b=(54-32)/2=11. (22)
Отсюда: (a+b)(a-b)=(43+11)(43-11)=54∙32=〖12〗^3.
Это значит, что в полном соответствии с формулировкой гипотезы чётное число 54 выражено суммой двух простых чисел.
Выше показано разложение на множители чётного числа 1728, являющегося полной – третьей – степенью числа 12. Произведём подобное разложение числа 6912, являющегося произведением 〖12〗^3 и 2^2.
2^2∙〖12〗^3=2^2∙3^3∙4^3=(2∙3^3)∙(2∙4^3). (23)
Выразим сумму и разность нечётных чисел следующим образом.
(c_1+c_2 )=2∙4^3. (24) (c_1-c_2 )=2∙3^3. (25)
Определим нечётные числа как половину суммы и половину разности значений формул (24) и (25).
a=(2∙4^3+2∙3^3)/2=4^3+3^3=91. (26) b=(2∙4^3-2∙3^#)/2=4^3-3^3=37. (27)
Имеем простое число 37 и произведение двух простых чисел 91=7∙13, а также их сумму (a+b)=91+37. То есть данное разложение подчиняется принятому правилу.
Представим уравнение (14) со значением C^((n+m)), где m<n.
C^((n+m))=(a+b)(a-b)=(2^((n+m-1) )∙c_1^((n+m)) )(2∙c_2^((n+m)) ). (28)
Из уравнения (28) имеем:
(a+b)=(2^((n+m-1) )∙c_1^(n+m) ). (29) (a-b)=2∙c_2^(n+m). (30)
Принимаем число (а) половиной суммы множителей (a+b) и (a-b), а число (b) половиной их разности. [1]
a=2^((n+m-2))∙c_1^(n+m)+c_2^(n+m). (31) b=2^((n+m-2))∙c_1^(n+m)-c_2^(n+m). (32)
Разложим на множители число (а) по формуле суммы n – х степеней, а число (b) по формуле разности n – х степеней.
a=(2^(((n+m-2))/(n+m))∙c_1+c_2 )(2^(((n+m-2)(n+m-1))/(n+m))∙c_1^((n+m-1) )-…c_2^((n+m-1) ) ). (33)
b=(2^(((n+m-1))/(n+m))∙c_1-c_2 )(2^((n+m-2)(n+m-1)/(n+m))∙c_1^((n+m-1) )+⋯c_2^((n+m-1) ) ). (34)
Из уравнений (33) и (34) следует, что числа (а) и (в) нельзя разложить на целочисленные множители, т. е. они являются простыми. Нужно отметить, что разложение на множители и выделение нечётных чисел по рассмотренной выше формуле (28) применимо к любому чётному числу ≥4.
Итак, показано, что чётное число ≥4 можно представить суммой двух простых чисел, и что это число есть множитель некоторого числа (C), второй множитель которого - разность этих же простых чисел. Число (C), тем самым, является разностью квадратов двух нечётных чисел, а его правило, не имеет ограничений в числовом поле и для его множителей, один из которых можно представить как сумму простых чисел. Это значит, что предела для выражения чётного числа суммой простых чисел нет. Т. е. проблема Гольдбаха решена.
Литература.
Ведерников С. И. Полное доказательство гипотезы Била. – Журнал: Проблемы современной науки и образования. 2025. № 8 (207). Стр. 6.
© Ведерников С. И. 2025 г.